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What the Tortoise Said to Achilles (1895) est un court dialogue écrit par Lewis Caroll qui remet en cause les fondements de la logique et plus particulièrement du modus ponens. Le titre fait référence à l'un des paradoxes de Zénon dans lequel Achille ne pourrait jamais gagner une course face à une tortue. Dans le dialogue, la tortue met au défi Achille d'utiliser la force de la logique pour la convaincre d'un raisonnement inductif simple. Mais Achille échoue, car il est entraîné dans un raisonnement infini.

Résumé du dialogue

La Tortue commence par énoncer ces trois propositions :

• (A) « Si deux choses sont égales à une même troisième, elles sont égales entre elles » (transitivité de l'égalité) ;
• (B) « Ce triangle a deux de ses côtés égaux à un même troisième » ;
• Il en découle que (Z) « ce triangle a deux cotés égaux ».

Elle demande ensuite à Achille si la conclusion (Z) découle logiquement à partir des hypothèses (A) et (B) et Achille assure que oui. La tortue lui demande si il peut exister un lecteur d'Euclide qui peut prétendre que l'argument est valide en tant que suite logique tout en niant la vérité de A et de B. Achille concède qu'un tel lecteur pourrait exister bien qu'il le considérerait alors comme un mauvais logicien.

De la même façon elle lui demande si un second type de lecteur pourrait exister, qui reconnaîtrait la vérité de A et de B sans reconnaître le lien logique entre les hypothèses A et B, et la conclusion Z. Achille reconnaît qu'un tel lecteur pourrait également exister et la Tortue lui demande de la traiter en lecteur de ce type et de lui montrer formellement la vérité de Z.

Après avoir écrit A, B, et Z, Achille demande à la Tortue d'accepter la proposition (C) « Si A et B sont vraies, alors Z est nécessairement vraie ». La Tortue veut bien reconnaître la proposition comme vraie, à condition que Achille l'écrive. Une fois écrite, la Tortue accepte la proposition C mais refuse toujours la conclusion, ce à quoi Achille répond « Si tu acceptes A, B, et C, tu dois accepter Z ». La tortue fait remarquer qu'il s'agit là d'une nouvelle proposition et lui demande de l'écrire à la suite des autres. Cela continue ainsi, la Tortue accepte chaque hypothèse qu'Achille accepte d'écrire sans accepter la conclusion. À la nième itération les hypothèses sont les suivantes :

• (1) « Si deux choses sont égales à une même troisième, elles sont égales entre elles » ;
• (2) « Ce triangle a deux de ses côtés égaux à un même troisième » ;
• (3) « (1) et (2) impliquent Z » ;
• … ;
• (n) « (1), (2), …, (n-1) impliquent Z ».

Mais la Tortue refuse toujours de reconnaître la conclusion. À la fin du dialogue, la Tortue ironise sur le temps mis par Achille pour accomplir sa tâche, arrivé à la 1001^e itération « As-tu écrit la dernière étape ? Sauf si j'ai perdu le compte, cela en fait mille-un. Il y en a plusieurs millions de plus à venir. » (« Have you got that last step written down? Unless I've lost count, that makes a thousand and one. There are several millions more to come. »)

Discussion

Plusieurs philosophes ont essayé de résoudre le paradoxe de Carroll. Bertrand Russell y a brièvement fait référence dans The principles of Mathematics (§38, 1903) en faisant la distinction entre implication (Si p alors q) qu'il considère comme une relation entre deux propositions, et l'inference (p, donc q) pour laquelle p est forcément vraie. Ainsi, Russell peut s'opposer au fait que la tortue considère que l'inférence de Z depuis A et B soit équivalente à l'implication "Si A et B sont vraies, alors Z l'est aussi"

Le philosophe Wittgensteinien Peter Winch en a parlé dans son The Idea of a social Science and its relation to Philosophy (1958), dans lequel il dit que ce paradoxe montre que "le processus de representation d'une inference, qui est après tout au coeur de la logique, est quelque chose qui ne peut être représenté par une formule logique. Apprendre à inférer ne se résume pas seulement à relier de façon logique des propositions, mais c'est apprendre à faire quelque chose. Winch suggère que la morale du dialogue est uncas particulier d'une leçon plus générale: il est impossible du résummer une activité humaine à un ensemble de précèptes logiques.

Où trouver le dialogue

• Carroll, Lewis. What the Tortoise Said to Achilles. Mind, n.s., 4 (1895), pp. 278–80.
• Quelques sites web, comme par exemple [1], [2], et [3]
• le texte anglais est disponible sur Wikisource : [4]